Σύνοψη
Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον ℝ3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την
πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του ℝ3, ώστε για κάθε σημείο του να
υπάρχει ένα ανοικτό υποσύνολο, το οποίο να είναι ομοιομορφικό με ένα ανοικτό υποσύνολο του ℝ2.
Με τη δεύτερη προσέγγιση μια επιφάνεια (ή καλύτερα τμήμα επιφάνειας) ορίζεται ως εικόνα μιας
απεικόνισης από ένα ανοικτό υποσύνολο του επιπέδου στον ℝ3, η οποία και αυτή ικανοποιεί συγκεκριμένες
ιδιότητες.
Η δεύτερη προσέγγιση είναι γενίκευση της περιγραφής των καμπυλών στον ℝ3. Αν και είναι χρήσιμη στην περιγραφή τοπικών ιδιοτήτων μιας επιφάνειας, έχει παρόλα αυτά περιορισμένη χρησιμότητα για πιο δύσκολα προβλήματα. Για τον λόγο αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε και τον εναλλακτικό ορισμό μιας επιφάνειας ως ένα υποσύνολο του Ευκλείδειου χώρου ℝ3 το οποίο τοπικά να ῾῾μοιάζει᾿᾿ με ένα ανοικτό υποσύνολο του επιπέδου. Για περισσότερες πληροφορίες προτείνουμε τα βιβλία [1], [2], [3], [4], [5], [6].
Προαπαιτούμενη γνώση
Αναλυτική Γεωμετρία, Απειροστικός Λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, Εισαγωγή στη Γραμμική
΄Αλγεβρα.
Ορισμός 2.1: ΄Ενα μη κενό συνεκτικό υποσύνολο M του ℝ3 ονομάζεται κανονική επιφάνεια (regular surface) (ή τοπικά εμφυτευμένη (embedded) επιφάνεια) εάν για κάθε p ∈ M υπάρχουν ανοικτές περιοχές V ⊂ ℝ3, U ⊂ ℝ2 με p ∈ V και μια 1-1 απεικόνιση X : U ⊂ ℝ2 → V ∩ M ⊂ ℝ3, X = X(u,υ) τέτοια ώστε
Η απεικόνιση X ονομάζεται τοπική παραμέτρηση (local parametrization) της M και η δυάδα (V ∩ M,X-1), όπου X-1 : V ∩M → U, ονομάζεται τοπικός χάρτης (local chart) ή τοπικό σύστημα συντεταγμένων της M στο σημείο p = X(q).
Παρατηρήσεις
1. Η απεικόνιση X ως προς ένα σύστημα συντεταγμένων Oxyz του ℝ3 έχει τη μορφή X(u,υ) = (x(u,υ)
,y(u,υ),z(u,υ)), όπου x,y,z : U ⊂ ℝ2 → ℝ είναι πραγματικές διαφορίσιμες απεικονίσεις, των u,υ ∈ U.
Κατόπιν αυτού, η συνθήκη 2 ισοδυναμεί με το ότι τα διανύσματα
2. Η συλλογή A = V α ∩ M,Xα-1 : α ∈ I από τοπικούς χάρτες της M ονομάζεται άτλαντας της M, εάν
Εάν πi : ℝ3 → ℝ, (i = 1,2) είναι οι κανονικές προβολές, τότε προκύπτει το παρακάτω διάγραμμα:
Τότε η συνθήκη 2 ισοδυναμεί με το ότι
Παράδειγμα 2.1: Το επίπεδο Π = {(x,y,z) ∈ ℝ3 : Ax + By + Γz + Δ = 0} είναι μια κανονική επεφάνεια η οποία καλύπτεται με έναν μόνο χάρτη. Πράγματι, γνωρίζουμε ότι, για να ορίζεται ένα επίπεδο, θα πρέπει ένα τουλάχιστον από τα A,B,Γ να είναι διάφορο του μηδενός. Οπότε χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι Γ≠0, άρα z = . Θέτουμε x = u,y = υ, συνεπώς είναι z = z(u,υ). Θεωρούμε τώρα την απεικόνιση
Παράδειγμα 2.2: ΄Εστω U ανοικτό υποσύνολο του ℝ2 και f : U → ℝ μια διαφορίσιμη συνάρτηση. Τότε η απεικόνιση X : U → M με τιμή
Στο παραπάνω παράδειγμα το σύνολο M είναι το γράφημα της απεικόνισης f : ℝ2 → ℝ με f(x,y) = z. Ανάλογα, το γράφημα μιας απεικόνισης g : ℝ2 → ℝ με g(x,z) = y είναι το σύνολο {(u,g(u,υ),υ) : (u,υ) ∈ ℝ2} με παραμέτρηση Y (u,υ) = (u,g(u,υ),υ), ενώ το γράφημα της απεικόνισης h : ℝ2 → ℝ με h(y,z) = x είναι το σύνολο {(h(u,υ),u,υ) : (u,υ) ∈ ℝ2} με παραμέτρηση W(u,υ) = (h(u,υ),u,υ). Οι πραμετρήσεις αυτής της μορφής καλούνται παραμετρήσεις τύπου Monge. Εύκολα βλέπουμε ότι η παραμέτρηση του επιπέδου στο Παράδειγμα 2.1 είναι παραμέτρηση τύπου Monge.
Παράδειγμα 2.3: ΄Εστω S2 = (x,y,z) ∈ ℝ3 : x2 + y2 + z2 = 1 η μοναδιαία σφαίρα του ℝ3. ΄Εστω N = (0,0,1), S = (0,0,-1) ο βόρειος και ο νότιος πόλος αντίστοιχα. Θέτουμε UN = S2 \{N}, US = S2 \{S} και ορίζουμε τις απεικονίσεις XN : UN → ℝ2, XS : US → ℝ2 (στερεογραφικές προβολές) ως
΄Ασκηση Να γίνει αναλυτικός έλεγχος ότι ικανοποιείται ο Ορισμός 1.1.
Ο παραπάνω ορισμός μιας επιφάνειας παρουσιάζει τεχνικές δυσκολίες στην εφαρμογή του. Θα δούμε τώρα έναν εναλλακτικό τρόπο κατασκευής επιφανειών στον ℝ3 μέσω του θεωρήματος πεπλεγμένης συνάρτησης. Χρειαζόμαστε κατ΄ αρχάς να υπενθυμίσουμε τα εξής:
΄Εστω F = (F1,…,Fm) : U ⊂ ℝn → ℝm μια διαφορίσιμη απεικόνιση στο ανοικτό υποσύνολο U του ℝn και p ∈ U. Τότε το διαφορικό DF(p) : ℝn → ℝm στο p είναι μια γραμμική απεικόνιση της οποίας ο m×n πίνακας (ως προς τις κανονικές βάσεις των ℝn, ℝm) είναι ο
΄Εστω τώρα γ : ℝ → U ⊂ ℝn μια διαφορίσιμη καμπύλη με γ(0) = p,γ′(0) = Z ∈ ℝ. Τότε η σύνθεση F ∘ γ : ℝ → ℝm είναι μια καμπύλη στον ℝm και από τον κανόνα της αλυσίδας προκύπτει ότι το εφαπτόμενο διάνυσμά της στο σημείο F(p) ∈ ℝm είναι
Πρόταση 2.1: Το διαφορικό DF(p) μιας απεικόνισης F : ℝn → ℝm δεν εξαρτάται από την επιλογή της καμπύλης γ.
Το παρακάτω θεώρημα είναι ίσως το πιο κεντρικό θεώρημα της κλασικής Ανάλυσης.
Θεώρημα 2.1: (Θεώρημα Αντίστροφης Απεικόνισης)
΄Εστω U ⊂ ℝn ανοικτό και F : U ⊂ ℝn → ℝn διαφορίσιμη. ϒποθέτουμε ότι στο p ∈ U το διαφορικό
DF(p) : ℝn → ℝn της F στο p είναι αντιστρέψιμη (ως γραμμική απεικόνιση). Τότε υπάρχουν ανοικτές
περιοχές Up ∋ p, V q ∋ q = F(p) έτσι ώστε η f = F|Up : Up → V q να είναι 1-1, επί και η αντίστροφή της
f-1 : V q → Up να είναι διαφορίσιμη. Επιπλέον, για το διαφορικό της f-1 ισχύει:
Ορισμός 2.2: ΄Εστω U ⊂ ℝn ανοικτό και F : U → ℝm διαφορίσιμη.
΄Εστω f : U ⊂ ℝ3 → ℝ μια διαφορίσιμη απεικόνιση και U ένα ανοικτό υποσύνολο του ℝ3. Τότε ο πίνακας του διαφορικού Df(p) της f στο σημείο p είναι ο 1 × 3 πίνακας
Χρησιμοποιώντας τώρα το παραπάνω Θεώρημα Αντίστροφης Απεικόνισης, μπορούμε να αποδείξουμε το επόμενο θεώρημα κατασκευής επιφανειών στον ℝ3. Πολλές φορές το θεώρημα αυτό αναφέρεται και ως Θεώρημα Πεπλεγμένης Συνάρτησης (για τη θεωρία επιφανειών).
Θεώρημα 2.2: ΄Εστω U ⊂ ℝ3 ανοικτό, f : U → ℝ διαφορίσιμη απεικόνιση και q μια κανονική τιμή της f, δηλαδή ισχύει
Απόδειξη. ΄Εστω p ένα τυχαίο σημείο του συνόλου M. Η κλίση (∇f)(p) στο p δεν είναι μηδέν, οπότε χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι (p)≠0. Ορίζουμε την απεικόνιση F : U ⊂ ℝ3 → ℝ3 με τιμή
Παράδειγμα 2.4: ΄Εστω f : ℝ3 → ℝ η διαφορίσιμη απεικόνιση
Παράδειγμα 2.5: ΄Εστω r,R ∈ ℝ με 0 < r < R. Θεωρούμε τη διαφορίσιμη συνάρτηση
Με την ίδια μέθοδο των Παραδειγμάτων 2.4 και 2.5 μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι οι επόμενες εξισώσεις ορίζουν κανονικές επιφάνειες:
Ερχόμαστε τώρα σε μια εναλλακτική περιγραφή μιας επιφάνειας (ή καλύτερα τμήματος επιφάνειας). Η διαδικασία αυτή αποτελεί γενίκευση της περιγραφής μιας καμπύλης μέσω απεικονίσεων παραμέτρησης.
Ορισμός 2.3: Μια κανονική παραμετρημένη επιφάνεια (regular parametrized surface) είναι μια απεικόνιση X : U ⊂ ℝ2 → ℝ3 (U ανοικτό υποσύνολο του ℝ2) τέτοια ώστε για κάθε q ∈ U να ισχύει
Παρατηρήσεις
1. Η εικόνα X(U) ονομάζεται και τμήμα επιφάνειας.
2. Η συνθήκη (*) είναι ισοδύναμη με το ότι το διαφορικό DX(q) : ℝ2 → ℝ3 είναι 1-1.
3. Μια κανονική παραμετρημένη επιφάνεια ονομάζεται και εμβαπτισμένη (immersed) επιφάνεια του ℝ3.
Ορισμός 2.4: ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια του ℝ3. Μια διαφορίσιμη απεικόνιση X : U ⊂ ℝ2 → M (U ανοικτό) αποτελεί μια παραμέτρηση (parametrization) της M εάν:
΄Εστω X(U) ένα τμήμα μιας επιφάνειας η οποία να ορίζεται απο την απεικόνιση X : U ⊂ ℝ2 → ℝ3. Ας θεωρήσουμε το σημείο q = (u0,υ0) ∈ U. Τότε η εικόνα της ευθείας υ = υ0 μέσω της απεικόνισης X θα είναι η καμπύλη
Αν τώρα επιτρέψουμε τις μεταβλητές u,υ να πάρουν όλες τις τιμές από το πεδίο ορισμού U, τότε ορίζεται ένα πλέγμα ευθειών οριζοντίων και καθέτων, τέτοιο ώστε από κάθε σημείο q του U να διέρχεται μοναδικό ζεύγος τέτοιων ευθειών. Η εικόνα αυτού του πλέγματος μέσω της X ορίζει ένα πλέγμα επιφανειακών καμπυλών της X(U) που την καλύπτουν. Δηλαδή από κάθε σημείο q = (u0,υ0) της X(U) διέρχεται μία και μοναδική u-καμπύλη, η υ = υ0 και μία και μοναδική υ-καμπύλη, η u = u0. Το ζεύγος (u0,υ0) λέγεται ζεύγος καμπυλόγραμμων συντεταγμένων του σημείου q.
Ορισμός 2.5: ΄Εστω X : U ⊂ ℝ2 → M μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας M. Τότε για κάθε σημείο (u0,υ0) του U:
Παράδειγμα 2.6: Θα δώσουμε δύο διαφορετικές παραμετρήσεις του επιπέδου Oxy και θα ορίσουμε τις παραμετρικές καμπύλες αυτού. Θεωρούμε την εξίσωση X(u,υ) = (u,υ,0). Η συνάρτηση αυτή είναι διαφορίσιμη και επιπλέον Xu × Xυ≠0, άρα είναι πράγματι μια παραμέτρηση του επιπέδου z = 0. Το πλέγμα των παραμετρικών γραμμών αυτού, ορίζεται από τις ευθείες u = u0,υ = υ0, όπου (u0,υ0) ∈ ℝ2, που είναι ευθείες παράλληλες προς τους άξονες των συντεταγμένων. Ας θεωρήσουμε τώρα την εξίσωση X(u,υ) = (ucosυ,usinυ,0). Η παράσταση αυτή είναι επίσης, όπως εύκολα αναγνωρίζεται, μια παραμέτρηση του επιπέδου, εκτός του σημείου (0,0,0). Το πλέγμα των παραμετρικών γραμμών στην περίπτωση αυτή αποτελείται από τις ακόλουθες καμπύλες:
Παράδειγμα 2.7: Ο δακτύλιος T2 του Παραδείγματος 2.5 προκύπτει με περιστροφή του κύκλου {(x,0,z) ∈ ℝ3 : z2 + (x - R)2 = r2} του επιπέδου (x,z) περί τον άξονα z (βλ. Σχήμα 2.4).
Συνεπώς, μπορούμε να παραμετρήσουμε τοπικά τον δακτύλιο μέσω της απεικόνισης (τοπική παραμέτρηση)
Παράδειγμα 2.8: Θεωρούμε τη μοναδιαία σφαίρα S2 του ℝ3. Μια τοπική παραμέτρηση της σφαίρας S2 με γεωγραφικές συντεταγμένες είναι η απεικόνιση
Παράδειγμα 2.9: ΄Εστω γ = (r,0,z) : I → ℝ2 μια κανονική καμπύλη στο επίπεδο (x,z) τέτοια ώστε r(s) > 0 και ṙ(s)2 + ż(s)2 = 1 για κάθε s ∈ I. Περιστρέφοντας την καμπύλη αυτή περί τον άξονα z, προκύπτει μια κανονική επιφάνεια εκ περιστροφής (surface of revolution), η οποία παραμετροποιείται μέσω της απεικόνισης
Παρατήρηση
Η καμπύλη γ ονομάζεται γενέτειρα (generating curve) και ο άξονας z καλείται άξονας περιστροφής της επιφάνειας.
Τα σημεία της γ, κατά την περιστροφή της, διαγράφουν κύκλους, τους οποίους καλούμε παραλλήλους της
επιφάνειας, ενώ η καμπύλη γ και οι νέες θέσεις της (κατά την περιστροφή) αποτελούν τους μεσημβρινούς της
επιφάνειας.
Ορισμός 2.6: ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια του ℝ3. Μια συνεχής απεικόνιση γ : I → M (I ⊂ ℝ ανοικτό) ονομάζεται λεία (ή διαφορίσιμη) καμπύλη στην M, εάν η γ είναι διαφορίσιμη ως απεικόνιση με τιμές στο ℝ3.
΄Εστω γ1 : I → M και γ2 : J → M δύο επιφανειακές καμπύλες οι οποίες τέμνονται στο σημείο p ∈ M, δηλαδή υπάρχει t0 ∈ I και s0 ∈ J τέτοια ώστε γ1(t0) = γ2(s0) = p. Η γωνία των δύο καμπυλών είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν τα εφαπτόμενα διανύσματα στο σημείο τομής αυτών, δηλαδή
Θα κλείσουμε το κεφάλαιο αυτό ορίζοντας την έννοια της διαφορίσιμης απεικόνισης μεταξύ επιφανειών.
Θέλουμε να ορίσουμε την έννοια της λείας απεικόνισης f : M1 → M2, όπου M1 και M2 είναι κανονικές επιφάνειες. Δεν είναι προφανές πώς μπορούμε να το κάνουμε αυτό, διότι ως τώρα γνωρίζουμε πώς να ορίζουμε λείες απεικονίσεις μεταξύ ανοικτών υποσυνόλων Ευκλείδειων χώρων. Αρχίζουμε με μια ειδική περίπτωση.
Ορισμός 2.7: ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια του ℝ3. Μια πραγματική συνάρτηση f : M → ℝ ονομάζεται λεία ή διαφορίσιμη (smooth or differentiable), εάν για κάθε τοπική αναπαράσταση X : U → M της M, η σύνθεση f ∘ X : U ⊂ ℝ2 → ℝ είναι διαφορίσιμη.
Πρόταση 2.2: ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια του ℝ3 και f : M → ℝ. Η απεικόνιση f είναι λεία εάν και μόνο εάν, για κάθε τοπική παραμέτρηση X : U ⊂ ℝ2 → M, η απεικόνιση f ∘ X είναι λεία.
Απόδειξη. ϒποθέτουμε πρώτα ότι η απεικόνιση f είναι λεία. Σύμφωνα με τον Ορισμό 2.7, υπάρχει τοπική αναπαράσταση Y : V → M της M τέτοια ώστε η
Ορισμός 2.8: Μια απεικόνιση ϕ : M1 → M2 μεταξύ δύο κανονικών επιφανειών του ℝ3 ονομάζεται λεία ή διαφορίσιμη, εάν για κάθε δύο τοπικές παραμετρήσεις (U1,X1) της M1 και (U2,X2) της M2 η απεικόνιση
Πρόταση 2.3: ΄Εστω ϕ1 : M1 → M2 και ϕ2 : M2 → M3 δύο λείες απεικονίσεις μεταξύ κανονικών επιφανειών του ℝ3. Τότε η σύνθεση ϕ2 ∘ ϕ1 : M1 → M3 είναι λεία.
Απόδειξη. Επειδή η απεικόνιση ϕ1 είναι λεία μεταξύ δύο κανονικών επιφανειών του ℝ3, τότε από τον Ορισμό 2.8, για κάθε δύο παραμετρήσεις X1 : U1 → M1 και X2 : U2 → M2 η σύνθεση
Πρόταση 2.4: ΄Εστω M1,M2 κανονικές επιφάνειες του ℝ3 και ϕ : U ⊂ ℝ3 → ℝ3 διαφορίσιμη απεικόνιση στο ανοικτό U, τέτοια ώστε M1 ⊂ U και ϕ(M1) ⊂ M2. Τότε ο περιορισμός ϕ|M1 : M1 → M2 είναι λεία απεικόνιση μεταξύ των δύο επιφανειών.
Απόδειξη. ΄Εστω p τυχαίο σημείο της M1 και X1 : U1 ⊂ ℝ2 → M1, X2 : U2 ⊂ ℝ2 → M2 δύο παραμετρήσεις, γύρω από τα σημεία p και ϕ(p) αντίστοιχα, τέτοιες ώστε p ∈ X1(U1), ϕ(X1(U1)) ⊂ X2(U2). Τότε όμως, η απεικόνιση
Παράδειγμα 2.10: ΄Εστω f : ℝ3 → ℝ3, f(x,y,z) = (ax,by,cz) με abc > 0. Προφανώς η f είναι διαφορίσιμη. Ο περιορισμός της f στη σφαίρα S2 είναι μια διαφορίσιμη απεικόνιση από την σφαίρα σε ένα ελλειψοειδές, όπου η σφαίρα είναι το σύνολο
Ορισμός 2.9: Μια διαφορίσιμη απεικόνιση ϕ : M1 → M2 μεταξύ δύο κανονικών επιφανειών του ℝ3 ονομάζεται αμφιδιαφόριση (diffeomorphism), εάν είναι 1-1, επί και η αντίστροφη ϕ-1 : M2 → M1 είναι διαφορίσιμη. Τότε οι επιφάνειες M1 και M2 ονομάζονται αμφιδιαφορικές.
Παράδειγμα 2.11: Η απεικόνιση f : S2 → S2 με f(x,y,z) = (-x,-y,-z) είναι αμφιδιαφόριση. Πράγματι, παρατηρούμε ότι η f είναι 1-1 και επί με f-1 = f. Επίσης, η f είναι ο περιορισμός (επί της S2) της διαφορίσιμης απεικόνισης
Πρόταση 2.5: ΄Εστω f : M1 → M2 μια αμφιδιαφόριση. Εάν X1 είναι μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας M1, τότε η f ∘ X1 είναι μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας M2.
Μερικές φορές θα φανεί χρήσιμο αντί των αμφιδιαφορίσεων να θεωρούμε λείες απεικονίσεις που ικανοποιούν μια ελαφρώς ασθενέστερη συνθήκη. Μια λεία απεικόνιση f : M1 → M2 καλείται τοπική αμφιδιαφόριση, εάν για κάθε σημείο p ∈ M1 υπάρχει ανοικτό υποσύνολο U της M1, τέτοιο ώστε το f(U) να είναι ανοικτό υποσύνολο της M2 και η f|U : U → f(U) να είναι αμφιδιαφόριση. Είναι προφανές ότι κάθε αμφιδιαφόριση είναι τοπική αμφιδιαφόριση (αρκεί να πάρουμε U = M1). Επιπλέον, η Πρόταση 2.5 ισχύει αν η f είναι τοπική αμφιδιαφόριση, υπό τον όρο ότι ο περιορισμός της στην εικόνα του X1 είναι 1-1.
Παράδειγμα 2.12: ΄Εστω X : U → ℝ3,X(u,υ) = (ucoshυ,usinhυ,u2) όπου U = {(u,υ) ∈ ℝ2 : u > 0}. Αποδείξτε ότι η X αποτελεί μια κανονική παραμέτρηση (του τμήματος) της επιφάνειας του υπερβολικού παραβολοειδούς
Λύση
΄Εστω X(u,υ) = (x,y,z). Τότε x2 - y2 = u2cosh2υ - sinh2υ = u2, άρα X(u,υ) ∈ M για κάθε (u,υ) ∈ U. ΄Εστω V = X(U). Πρέπει να δείξουμε τα εξής:Πράγματι,
α) ΄Εστω X(u1,υ1) = X(u2,υ2). Τότε προκύπτει το σύστημα
β) Η X είναι διαφορίσιμη επειδή οι συνιστώσες συναρτήσεις της είναι διαφορίσιμες πραγματικές συναρτήσεις.
γ) Για να βρούμε την αντίστροφη X-1 : V → U πρέπει να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων
δ) Είναι Xu = coshυ,sinhυ,2u,Xυ = usinhυ,usinhυ,0, άρα
Παράδειγμα 2.13: Να δείξετε ότι η συνάρτηση X : (0,∞) × (0,∞) → ℝ3, X(u,υ) = (u,2u,uυ2) αποτελεί παραμέτρηση επιφάνειας.
Λύση
Η X είναι λεία, αφού οι μερικές παράγωγοι των u,2u,uυ2 είναι συνεχείς και επίσης είναι 1-1, επειδήΠαράδειγμα 2.14: Εξετάστε εάν το σύνολο M = {(x,y,z) ∈ ℝ3 : x - z + f(y - z) = 0}, όπου f : ℝ → ℝ μια διαφορίσιμη συνάρτηση, είναι μια κανονική επιφάνεια.
Λύση
Θεωρούμε την απεικόνιση F : ℝ3 → ℝ με F(x,y,z) = x-z + f(y -z). ΄Εχουμε ότι M = F-1({0}). Η απεικόνιση F είναι διαφορίσιμη καιΠαράδειγμα 2.15: Να δειχθεί ότι το σύνολο M = {(x,y,z) ∈ ℝ3 : xy+xz-zy+y2 = 2} είναι μια κανονική επιφάνεια και να βρείτε μια παραμέτρηση αυτής σε μια περιοχή του σημείου (1,1,-1).
Λύση
Θέτουμε F(x,y,z) = xy + xz - zy + y2 - 2, οπότε M = F-1({0}). Αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο M δεν περιέχει κρίσιμα σημεία. ΕίναιΠαράδειγμα 2.16: Να βρεθούν οι τιμές του c ∈ ℝ για τις οποίες το σύνολο
Λύση
΄Εστω f : ℝ3 → ℝ με f(x,y,z) = 4x5 + 2y3 - y + 3z2. Τότε S = f-1(c). Για να είναι το σύνολο S κανονική επιφάνεια, θα πρέπει να μην περιέχει κρίσιμα σημεία. ΄ΕχουμεΠαράδειγμα 2.17: Ποιό από τα παρακάτω υποσύνολα του ℝ3 αποτελεί μια κανονική επιφάνεια;
Σε θετική περίπτωση βρείτε μια παραμέτρηση της επιφάνειας.
Λύση
α) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : ℝ3 → ℝ,f(x,y,z) = x2 + y2 - z. Τότε M1 = f-1(0) καιΠαράδειγμα 2.18: Να κατασκευαστεί μια αμφιδιαφόριση μεταξύ του ελλειψοειδούς
Λύση
Θεωρούμε την απεικόνιση F : ℝ3 → ℝ3 με F(x,y,z) = (,,), η οποία είναι, προφανώς αμφιδιαφόριση, με αντίστροφη την F-1 : ℝ3 → ℝ3, (x,y,z)(ax,by,cz). Εύκολα προκύπτει ότι F(E) ⊂ S2 και F-1(S2) ⊂ E. Επομένως, η απεικόνιση
1. Ποιό από τα παρακάτω υποσύνολα του ℝ3 αποτελεί μια κανονική επιφάνεια;
2. Βρείτε μια παραμέτρηση του επιπέδου ax + by + cz = d του ℝ3.
3. Κατασκευάστε μια αμφιδιαφόριση φ : S2 → M μεταξύ της μοναδιαίας σφαίρας S2 και του ελλειψοειδούς M = .
4. ΄Εστω U = και X : U → ℝ3 με X(u,υ) = (sinu, sin(2u),υ). ΄Εστω M = X(U). Σχεδιάστε το γράφημα του συνόλου M και δείξτε ότι η X είναι διαφορίσιμη, 1-1 και ότι είναι μια κανονική παραμέτρηση, παρόλα αυτά δείξτε ότι η X-1 δεν είναι συνεχής. Είναι η M μια κανονική επιφάνεια του ℝ3 ;
5. Εργαστείτε όπως στο Παράδειγμα 2.6, για τις επιφάνειες που ορίζονται ως ακολούθως:
6. ΄Εστω f(x,y,z) = (x + y + z - 1)-1 και g(x,y,z) = xyz2. Να βρεθούν τα κρίσιμα σημεία και οι κρίσιμες τιμές των f,g. Για ποιές τιμές του c είναι τα σύνολα f-1({c}) και g-1({c}) κανονικές επιφάνειες του ℝ3;
7. Να δικαιολογηθεί γιατί το ελλειπτικό παραβολοειδές, που καθορίζεται από την εξίσωση z = x2 + y2, είναι αμφιδιαφορικό με ένα επίπεδο.
8. Να αποδειχθεί ότι η απεικόνιση X : U → ℝ3 με X(u,υ) = (acosusinυ,bsinusinυ,ccosυ), όπου U = ℝ × (0,π), είναι παραμέτρηση του ελλειψοειδούς. Να περιγραφούν οι u- και υ-καμπύλες.
9. ΄Εστω a,b≠0. Αποδείξτε ότι οι εξισώσεις x2 + y2 + z2 = ay και x2 + y2 + z2 = bz ορίζουν κανονικές επιφάνειες του ℝ3. Στη συνέχεια, αποδείξτε ότι οι επιφάνειες αυτές τέμνονται κάθετα.
[1] M. Abate and F. Torena, Curves and Surfaces, Springer 2012.
[2] C. Bär, Elementary Differential Geometry, Cambridge Univ. Press 2010.
[3] M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall 1976.
[4] J. Oprea, Differential Geometry and Its Applications, The Mathematical Assocation of America, 2007.
[5] Β. Ι. Παπαντωνίου, Διαφορική Γεωμετρία, Εκδ. Πανεπιστ. Πατρών, Πάτρα, 2013.
[6] A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Second Edition, Springer 2010. Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη 2012.